funcion

Función

Una funcion la denotamos por “f” es una relación entre un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se denota por: f: X—-> Y

Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones.

Una función puede considerarse como un caso particular de una relación o de correspondencia matemática. Cada relación o correspondencia de un elemento x pertenece a X con un (y sólo un) y pertenece a Y se denota f(x)= y , en lugar de

(x,y) pertenece f.

Formalmente, pedimos que se cumplan las siguientes dos condiciones:

Condición de existencia: Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.

Condición de unicidad: Cada elemento de X está relacionado con un único elemento de Y.

Clasificación de las funciones:

Dados dos conjuntos X, Y, consideremos a todas las posibles aplicaciones (funciones) que pueden formarse entre estos dos conjuntos. Podemos diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde una única preimagen, inyectiva.

Si la imagen de la función es igual al codominio, sobreyectiva o suprayectiva.

Una función que sea inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva .

Puede haber funciones que sean biyectivas, inyectivas pero no suprayectivas, supreyectiva pero no inyectiva o que no se cumple ninguna de esas condiciones, en cuyo caso no tiene un nombre específico.

Definiciones alternas: sea f: X —> Y dada y sea b un elemento cualquiera del codominio Y. Consideremos la ecuación:

f(x)= b (*).

La función es suprayectiva o sobreyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) siempre tiene al menos una solución.

La función es inyectiva si, y sólo si, la ecuación (*) tiene a lo más una solución.

La función es biyectiva cuando, y sólo cuando, es inyectiva y suprayectiva a la vez.


Vamos a ilustrar esos diferentes tipos de funciones (aplicaciones) en un diagrama de venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el conjunto de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es aquel de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B aquel de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.